求矩阵的合同矩阵通常涉及以下步骤：
特征值分解
将矩阵 \（ A \） 进行特征值分解，即 \（ A = PDP^{-1} \），其中 \（ D \） 是一个对角矩阵，其对角线上的元素为矩阵 \（ A \） 的特征值，\（ P \） 是一个正交矩阵，其列向量是 \（ A \） 的特征向量。
排序和对角化
对矩阵 \（ D \） 中的特征值进行排序，使其从大到小排列。
将排序后的对角矩阵 \（ D \） 的对角线上的元素开根号，得到矩阵 \（ \Delta = \text{diag}（\lambda_1^{0.5}, \lambda_2^{0.5}, \ldots, \lambda_n^{0.5}） \）。
构造合同矩阵
将矩阵 \（ P \） 和平方根矩阵 \（ \Delta \） 相乘，得到合同矩阵 \（ C = P \Delta \）。
检验
检验矩阵 \（ C \） 是否与矩阵 \（ A \） 具有相同的列向量。如果相同，则矩阵 \（ C \） 即为矩阵 \（ A \） 的合同矩阵。
示例
假设有一个矩阵 \（ A \）：
\[ A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 4 & 5 \\
3 & 5 & 6
\end{pmatrix} \]
特征值分解
计算 \（ A \） 的特征值和特征向量。假设特征值为 \（ \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \），对应的特征向量为 \（ p_1, p_2, p_3 \）。
排序和对角化
假设特征值排序后为 \（ \lambda_1' = 6, \lambda_2' = 5, \lambda_3' = 1 \）。
构造对角矩阵 \（ \Delta = \text{diag}（6^{0.5}, 5^{0.5}, 1^{0.5}） = \begin{pmatrix}
2.4495 & 0 & 0 \\
0 & 2.2361 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \）。
构造合同矩阵
计算 \（ P = [p_1, p_2, p_3] \）。
构造合同矩阵 \（ C = P \Delta = [p_1, p_2, p_3] \begin{pmatrix}
2.4495 & 0 & 0 \\
0 & 2.2361 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} \）。
检验
验证 \（ C \） 是否与 \（ A \） 具有相同的列向量。
通过上述步骤，可以求得矩阵 \（ A \） 的合同矩阵 \（ C \）。
注意事项
合同矩阵要求原矩阵和对角矩阵具有相同的特征值，但特征向量可以不同。
求合同矩阵的过程涉及特征值分解和矩阵乘法，计算量较大，需要一定的计算能力和技巧。
希望这些步骤能帮助你求出矩阵的合同矩阵。如果有具体的矩阵需要处理，可以提供矩阵的具体数值，以便进行详细计算。
